A început fotbalul la Drăgășani, Tavi Mâțoc fiindu-i îndrumător. La 13 ani a ajuns, însă, în curtea formației CFR Cluj. A jucat la nivelul de juniori pentru echipa de la poalele Feleacului, Clujul i-a devenit casă. A debutat în Liga I pentru trupa din Gruia în 2014. Timp de 14 ani a îmbrăcat tricoul CFR-ului, a fost și căpitan. Bineînțeles nu poate fi vorba decât despre Adiță Păun. A strâns peste 250 de meciuri în Liga I și a cucerit cinci titluri consecutive de campion al României cu gruparea ardeleană. Cel mai important trofeu îl are, însă, acasă. Soția sa, Anda, i l-a dăruit. Este vorba despre mica prințesă Ema Păun, care a venit pe lume anul trecut. Luna septembrie 2022 a adus o propunere de schimbare majoră pentru fotbalistul vâlcean. Pentru prima dată în carieră, de când joacă la nivel de seniori, în fotbalul profesionist, Adiță Păun (27 de ani) va evolua pentru un alt club decât CFR. Nu în România, ci în Israel. Acesta va fi împrumutat, până la finele sezonului, la Hapoel Beer Sheva, ocupanta locului 4 în campionatul din Israel. Hapoel poate obține transferul definitiv al fotbalistului originar din Drăgășani, după expirarea împrumutului. Potrivit celor de la Fanatik, pentru a semna cu Hapoel și a se încadra în perioada acceptată pentru transferuri, Adrian Păun ar fi plecat în grabă în Israel, chiar de la petrecerea de botez a micuțului Iair, băiețelul cântăreței Vlăduța Lupău și a fostului portar de la CFR, Adi Rus, bun prieten cu fotbalistul vâlcean. Cele două familii, Păun și Rus, au o legătură specială. Adi și Anda Păun au fost una din perechile de nași ale cuplului Vlăduța Lupău și Adi Rus. Să fie cu noroc, Adiță!
